Tout savoir sur le cercle trigonométrique

Que faut-il réellement connaître pour réussir ?

Le cercle trigonométrique est un incontournable lorsqu'on se lance dans une filière scientifique. Il peut alors se transformer en une énorme galère si vous n'avez pas pris le temps de dompter la bête... Voici donc quelques éclaircissements pour ne plus jamais avoir la tête qui tourne.

1) C'est quoi ce truc ? et à quoi peut-il servir ?

Il s'agit d'un outil à connaître, au moins pour réussir sa première S et accessoirement son baccalauréat... On l'utilise pour trouver des valeurs particulières des fonctions sinus et cosinus.

Si je devais établir une comparaison : on vous a appris à vous servir d'une calculette. Vous êtes maintenant bien content de l'utiliser à chaque fois que vous le pouvez. Si vous poursuivez dans les sciences, un jour (pas si lointain) vous pourriez avoir besoin du cercle trigonométrique autant que de votre calculatrice...!
Et sinon vous pouvez toujours aller me lire sur l'utilité des fonctions dans la vie.

Par ici

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2) Comment l'utiliser et quelles sont les principales valeurs à retenir ?

Au départ on a nettement l'impression d'être dans la peau d'un archéologue qui doit déchiffrer un mur de hiéroglyphes pour sortir d'une pyramide envahie par les momies. C'est, en effet, le sentiment qui m'a traversée quelques fois... C'est pourquoi aujourd'hui je vais faire en sorte d'être la plus claire possible.

Commençons doucement en traçant simplement les axes de ce cercle. L'horizontale représente le cosinus et la verticale, le sinus. Jusque là la lecture se fait comme si vous étiez en présence d'un sytème d'axes classique : ordonnée, abscisse. Nous y reviendrons.
Néanmoins, on peut dès à présent retenir que le sinus et le cosinus prendront toujours des valeurs comprises entre -1 et 1. Si vous arrivez à la fin de votre calcul à un beau résultat égal à 72, vous savez donc ce qu'il reste à faire...

Le cercle peut ensuite être découpé comme on découpe un camembert, en deux, en trois, en quatre ou en six. Pour commencer il faut retenir que 180° (la moitié du cercle) représente le nombre π et le le cercle entier, 360°, correspond au nombre 2π, comme ceci :

Il est également essentiel de noter que pour avoir des valeurs positives on tourne dans le sens trigonométrique, qui est contraire à celui des aiguilles d'une montre (sens antihoraire).

Nous avons découpé le cercle en deux, poursuivons et découpons le en 4. On place alors et entre autres les valeurs π/2 et 3π/2.

Pour obtenir les valeurs en π/3, il faut tracer un rectangle qui passe par les valeurs 1/2 et -1/2 du cosinus, comme représenté sur le schéma ci-dessous.

On trace ensuite les deux diagonales passant par le centre du cercle pour obtenir les valeurs en π/4.

Il ne reste plus que les valeurs en π/6, on trace cette fois-ci un rectangle passant par les valeurs 1/2 et -1/2 du sinus tout en continuant d'utiliser celui tracé plus haut pour les valeurs en π/3.

Voilà finalement le cercle découpé selon les valeurs usuelles (c'est à dire celles qui tombent en DS). Il faut savoir placer toutes ces valeurs. En attendant n'hésitez pas à imprimer celui-ci pour vous en servir à la maison. Cadeau ! ☺

Avant de poursuivre mon petit topo, je voudrais attirer votre attention sur les valeurs négatives. Vous les obtenez en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.

Autrement dit chercher le sinus de -π /2 revient au même que chercher le sinus de 3π/2. En effet, si vous comparez les deux derniers cercles vous verrez que ces valeurs sont au même endroit.

A partir de ce découpage, vous êtes donc capable de remplir le tableau des valeurs usuelles :

La lecture du cercle permet ainsi de trouver toutes les valeurs de sinus et cosinus lorsque x est égal à π/3, π/2, π/4, etc.
En faite, il faut par exemple voir la valeur π/3 comme un point dont on cherche les coordonnées. Au lieu d'avoir x et y on a cos(π/3) et sin(π/3).

3) Petit récapitulatif des formules à connaître par coeur !

Enfin et pour être vraiment paré contre toutes éventualités, il vous faudra connaitre les quelques lignes de formules qui vont suivre. Ne vous inquiétez pas, si vous avez bien compris les principaux points expliqués jusqu'à présent vous avez fait le plus dur.

Commençons par la reine des formules :

Pour celle-ci, il est inutile de tergiverser pendant 100 ans, deux mots suffisent : APPRENEZ LA !

Il faut ensuite apprendre les formules dites d'addition. Commençons par le cosinus. Il n'y a pas de grande difficulté, si ce n'est qu'il faut faire attention aux signes plus et moins.

Nous avons évidemment l'équivalent pour le sinus, où là les signes ne sont plus un problème. Il faut veiller par contre à l'ordre entre sin et cos.

Passons à présent aux formules de duplication. Si vous êtes malin, vous verrez que vous n'aurez pas grand chose à apprendre. En effet, ces formules découlent des précédentes. Remplacer le b par un autre a et vous trouverez normalement ce qui suit :

Et enfin, si vous n'oubliez pas que :

Alors vous serez capable d'écrire que cos(2a) est aussi égal à :

Si jamais vous ne parvenez pas à cette dernière expression, n'hésitez surtout pas à laisser un commentaire, je vous détaillerai les explications ! ☺

Voilà pour ce qui est du par coeur. A partir de ce point, toutes les formules qui vont suivre peuvent être retrouvées par lecture sur le cercle trigonométrique.
Voici deux exemples pour vous présenter le principe :